^Welcome to number theory zone^

Senin, 05 Januari 2009

mitos bilangan....

Bilangan itu sangat simbolis, baik di dalam Alkitab maupun di dalam mimpi profetis, dan kita perlu sangat berhati-hati dalam berlatih menafsirkan maknannya secara tepat. Berikut ini enam prinsip dasar untuk menafsirkan bilangan simbolis untuk mencegah kita melakukan kesalahan atau bersikap ekstrem.

1. Bilangan sederhana 1-13 kerap memiliki makna rohani.
2. Kelipatan bilangan ini, entah dua atau tiga kali, mengandung intensif. Bilangan 100, misalanya, memiliki makna yang sama dengan bilangan 10, tetapi dalam taraf yang jauh lebih besar.



3. Penggunaan pertama bilangan itu dalam Alkitab biasanya menunjukkan makna rohaninya.
4. Bilangan mesti ditafsirkan secara konsisten di seluruh Alkitab. Allah itu konsisten, dan apa yang dimaksudkan oleh suatu bilangan di kitab Kejadian, maknanya sama di seluruh Alkitab sampai dengan Wahyu.
5. Makna rohani suatu bilangan tidak selalu dinyatakan, tetapi mungkin terselubung, atau baru dapat dilihat setelah dibandingkan dengan ayat lain.
6. Biasanya ada aspek baik dan jahat, benar dan palsu, serta ilahi dan iblis dari suatu bilangan.

Dengan keenam prinsip tersebut, marilah kita mempertimbangkan makna masing-masing bilangan:

* Satu - Allah, permulaan, sumber. “Pada mulanya Allah [yang Esa/Satu] menciptakan langit dan bumi” (Kejadian 1:1). “Tetapi carilah dahulu [prioritas nomor satu] Kerajaan Allah dan kebenarannya, maka semuanya itu akan ditambahkan kepadamu” (Matius 6:33).
* Dua - saksi, kesaksian. “Atas keterangan dua atau tiga orang saksi haruslah mati dibunuh orang yang dihukum mati; atas keterangan satu oarang saksi saja janganlah ia dihukum mati” (Ulangan 17:6). “Dan dalam kitab Tauratmu ada tertulis, bahwa kesaksian dua orang adalah sah” (Yohanes 8:17).
* Tiga - Ketuhanan (trinitas), keutuhan ilahi. “Karena itu pergilah, jadikanlah semua bangsa murid-Ku dan baptislah mereka dalam nama Bapa dan Anak dan Roh Kudus [tiga-dalam-satu], dan ajarlah mereka melakukan segala sesuatu yang telah Kuperintahkan kepadamu. Dan ketahuilah, Aku menyertai kamu senantiasa sampai kepada akhir zaman.” (Matius 28:19-20).
* Empat - bumi, ciptaan, angin, musim. “Bukan semua daging sama: daging manusia lain dari pada daging binatang, lain dari pada daging burung, lain dari pada daging ikan [empat jenis daging dalam penciptaan]. ” (1 Korintus 15:39). “Maka firman-Nya kepadaku: “Bernubuatlah kepada nafas hidup itu, bernubuatlah, hai anak manusia, dan katakanlah kepada nafas hidup itu: Beginilah firman Tuhan ALLAH: Hai nafas hidup, datanglah dari keempat penjuru angin, dan berembuslah ke dalam orang-orang yang terbunuh ini, supaya mereka hidup kembali.” (Yehezkiel 37:9).
* Lima - salib, anugrah, karunia, penebusan. Ini dapat mencakup, misalnya karunia lima pelayanan. “Dan Ialah yang memberikan baik rasul-rasul maupun nabi-nabi, baik pemberita-pemberita Injil maupun gembala-gembala dan pengajar-pengajar, untuk memperlengkapi orang-orang kudus bagi pekerjaan pelayanan, bagi pembangunan tubuh Kristus, sampai kita semua telah mencapai kesatuan iman dan pengetahuan yang benar tentang Anak Allah, kedewasaan penuh, dan tingkat pertumbuhan yang sesuai dengan kepenuhan Kristus.” (Efesus 4:11-13).
* Enam - manusia, binatang, Iblis. Bilangan binatang dalam Wahyu adalah 666 (lihat Wahyu 13:18). Seperti dinyatakan sebelumnya, manusia diciptakan pada hari keenam (Lihat Kejadian 1:26-31).
* Tujuh - kesempurnaan, keutuhan. Allah menyelesaikan karya penciptaanNya pada hari ketujuh dan beristirahat (lihat Kejadian 2:1-2). Dalam Yosua pasal enam, bangsa Israel berkeliling tembok Yerikho satu kali setiap hari selama enam hari dan pada hari ketujuh, tujuh kali. Ketika mereka selesai berbaris, mereka meniup sangkakala dan bersorak-sorai dan tembok Yerikho pun runtuh.
* Delapan - permulaan baru. Sebagai tanda perjanjian Allah dengan Israel, setiap laki-laki harus disunat pada hari ke delapan (lihat Kejadian 17:10-12). Ketika Tuhan mengirimkan air bah ke muka bumi, Ia menyelamatkan delapan orang (Nuh dan keluarganya) di dalam bahtera untuk merintis suatu permulaan baru (lihat 1 Petrus 3:20). Banyak yang sepakat bahwa pergerakan profetis modern diawali pada tahun 1988. Itu adalah masa kelahiran suatu permulaan baru bagi Tubuh Kristus.
* Sembilan - tahap akhir, kepenuhan. Galatia 5:22-23 menyebutkan sembilan buah Roh: “Tetapi buah Roh ialah: kasih, sukacita, damai sejahtera, kesabaran, kemurahan, kebaikan, kesetiaan, kelemahlembutan, penguasaan diri. Tidak ada hukum yang menentang hal-hal itu.” 1 Korintus 12:8-10 menyebutkan sembilan karunia Roh: “Sebab kepada yang seorang Roh memberikan karunia untuk berkata-kata dengan hikmat, dan kepada yang lain Roh yang sama memberikan karunia berkata-kata dengan pengetahuan. Kepada yang seorang Roh yang sama memberikan iman, dan kepada yang lain Ia memberikan karunia untuk menyembuhkan. Kepada yang seorang Roh memberikan kuasa untuk mengadakan mujizat, dan kepada yang lain Ia memberikan karunia untuk bernubuat, dan kepada yang lain lagi Ia memberikan karunia untuk membedakan bermacam-macam roh. Kepada yang seorang Ia memberikan karunia untuk berkata-kata dengan bahasa roh, dan kepada yang lain Ia memberikan karunia untuk menafsirkan bahasa roh itu. “
* Sepuluh - hukum, pemerintahan. Contoh paling jelas adalah Sepuluh Perintah Allah di Keluaran 20.
* Sebelas - ketidaktertiban, kedurhakaan, antikristus. “Kesepuluh tanduk itu ialah kesepuluh raja yang muncul dari kerajaan itu. Sesudah mereka, akan muncul seorang raja; dia berbeda dengan raja-raja yang dahulu dan akan merendahkan tiga raja. Ia akan mengucapkan perkataan yang menentang Yang Mahatinggi, dan akan menganiaya orang-orang kudus milik Yang Mahatinggi; ia berusaha untuk mengubah waktu dan hukum, dan mereka akan diserahkan ke dalam tangannya selama satu masa dan dua masa dan setengah masa. Lalu Majelis Pengadilan akan duduk, dan kekuasaan akan dicabut dari padanya untuk dimusnahkan dan dihancurkan sampai lenyap.” (Daniel 7:24-26).
* Dua belas - pemerintahan ilahi, kegenapan apostolik. Ada 12 suku Israel (lihat Keluaran 28:21) dan Yesus memilih 12 murid (lihat Matius 10:2-4).
* Tiga belas - pemberontakan, kemurtadan, penyesatan. “Dua belas tahun lamanya mereka takluk kepada Kedorlaomer, tetapi dalam tahun yang ketiga belas mereka memberontak.” (Kejadian 14:4). Inilah kali pertamanya muncul Bilangan 13 dalm Alkitab, yang menetapkan standar penafsirannya.




Selengkapnya...

mathematic's holic



Matematika adalah ilmu pasti. Dengan pembuktian-pembuktian yang cukup mendalam sehingga matematika terbukti akan kevalidannya. Hal ini menjadikan matematika dapat diterima diseluruh kalangan manusia di permukaan bumi ini, sehingga ilmu ini tidak akan musnah ditelan zaman, kecuali ada seseorang yang dapat menemukan ilmu hitung baru yang dapat dibuktikan lebih valid lagi. Selengkapnya...

Kamis, 18 Desember 2008

para pakar teori bilangan

inilah beberapa sosok para ahli teori bilangan yang telah melahirkan pemikiran - pemikiran yang sangat berguna bagi kita...



Lejeune Dirichlet






Fibonacci




"Kekuatan terbesar dalam perhitungan modern terdapat pada tiga penemuan: notasi [bilangan] Arab, bilangan berbasis sepuluh dan logaritma”
(The miracuolus powers of modern calculation are due to three inventions:the Arabic Notation, Decimal Fractions, and Logarithms)




Gauss





Leonhard Euler









Pierre de Fermat







Phytagoras




Mainan Peninggalan Pythagoras
Semasa kecil, Pythagoras pernah menyusun kerikil dalam bentuk segi-tiga dengan jumlah kerikil yang berbeda namun berurutan:

1 = 1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Dengan menjumlah 2 angka yang bersebelahan akan ditemukan hasil suatu bilangan yang dikuadratkan:

1 + 3 = 4 (2 x 2)
3 + 6 = 9 (3 x 3)
6 + 10 = 16 (4 x 4)
10 + 15 = 25 (5 x 5)

“Mainan” ini ternyata memicu terjadinya rumus Pythagoras yang terkenal:
a² + b² = c². Seorang guru memberi tebakan “mainan” ini kepada Galileo sehingga akhirnya Galileo tertarik untuk menekuni matematika, sebagai alat untuk menjelaskan alam semesta (kosmologi).

Apabila bilangan mengatur alam semesta, Bilangan adalah kuasa yang diberikan kepada kita guna mendapatkan mahkota, untuk itu kita menguasai bilangan.
If “Number rules the universe, Number is merely our delegate to the throne, for we rule Number.”

Pythagoras....
Pencetus sekaligus penguasa nisbah dan segitiga

Pythagoras
(580 - 475 SM)

Masa kecil
Pythagoras adalah anak Mnesarchus, seorang pedagang yang berasal dari Tyre. Pada usia 18 tahun dia bertemu dengan Thales. Thales, seorang kakek tua, mengenalkan matematika kepada Pythagoras lewat muridnya yang bernama Anaximander, namun yang diakui oleh Pythagoras sebagai guru adalah Pherekydes.
Pythagoras meninggalkan Samos pada tahun 518 SM. Tidak lama kemudian dia membuka sekolah di Croton yang menerima murid tanpa membedakan jenis kelamin. Sekolah itu menjadi sangat terkenal bahkan Pythagoras akhirnya menikah dengan salah satu muridnya. Gambaran rinci tentang Pythagoras tidak terlalu jelas. Dikatakan setelah itu, dia pergi ke Delos pada tahun 513 SM untuk merawat penolong sekaligus gurunya, Pherekydes. Pythagoras menetap di sana sampai dia meninggal pada tahun 475 SM. Sepeninggalnya, sekolah Croton berjalan terseok-seok dan banyak konflik internal, tetapi dapat terus berjalan sampai 500 SM sebelum menjadi alat politik.
Bagaimana Pythagoras menciptakan kultus terhadap angka?

Angka adalah “dewa”
Matematika dan “mitos-mitos” palsu tentang angka tidak dapat dipisahkan. Setiap angka adalah simbol atau melambangkan sesuatu yang terkait dengan metafisik adalah hal lumrah di Cina. Pythagoras pun tidak luput dari “perangkap” mitos tentang angka. Dia mengajarkan bahwa: angka satu untuk alasan, angka dua untuk opini, angka tiga untuk potensi, angka empat untuk keadilan, angka lima untuk perkawinan, angka tujuh untuk rahasia agar selalu sehat, angka delapan adalah rahasia perkawinan. Angka genap adalah wanita dan angka ganjil/gasal adalah pria. “Berkatilah kami, angka dewa,” adalah kutipan dari para pengikut Pythagoras yang memberi perlakuan khusus terhadap angka empat,”yang menciptakan dewa-dewa dan manusia, O tetraktys suci yang mengandung akar dan sumber penciptaan yang berasal dari luar manusia.

Pemujaan angka seperti layaknya tukang sihir dengan bola kristalnya barangkali – di kemudian hari, mendasari para matematikawan setelah Pythagoras. Ucapan Plato “Tuhan memahami geometri” atau kutipan Galileo “Buku terbesar tentang alam ditulis dengan simbol-simbol matematika.” Apakah itu termasuk ilmu sihir atau matematika. Yang jelas matematika lebih sulit untuk dipahami.

Hubungan matematika dengan musik dekat sekali. Tidaklah mengherankan apabila Pythagoras juga mampu menjadi seorang musisi. Mitos bilangan Pythagoras terkandung lewat “keajabiban” pentagram. Bentuk segi-lima yang makin lama makin kecil sampai takterhingga.

Pythagoras sebagai pemusik
Pythagoras juga dikenal sebagai musisi berbakat, seorang pemain lira. Penemuan musik terkait dengan matematika diawali ketika Pythagoras bermain monokord, sebuah kotak dengan bentangan tali-tali di atas salah satu sisinya. Dengan menggerakkan jari naik dan turun pada garis-garis yang sengaja dibuat, Pythagoras mengenali bahwa suara yang dihasilkan dapat diperkirakan. Ketika bagian tengah ditekan, setiap bagian atas tali dan bawah tali menghasilkan nada sama: nada yang tepat 1 oktaf * lebih tinggi dibandingkan apabila monokord tidak ditekan. Dengan membagi monokord dengan nisbah 3/4 dan 2/5, ternyata setiap nisbah menghasilkan nada yang berbeda, merdu atau fals. Baginya, harmoni musik adalah aktivitas matematika. Harmoni dari monokord adalah harmoni matematika – dan harmoni alam semesta. Pythagoras menyimpulkan bahwa nisbah tidak hanya berlaku pada musik tetapi juga pada pelbagai jenis keindahan lain. Para pengikut Pythagoras menyimpulkan bahwa nisbah dan proporsi mengendalikan keindahan musik, kecantikan fisik dan keanggunan matematika.
Contoh: sebuah tali panjang yang menghasilkan nada C, kemudian 16/15 dari panjang tali C menghasilkan notasi B; 6/5 panjang tali C menghasilkan notasi A, 4/3 panjang tali C menghasilkan notasi G; 3/2 panjang tali C menghasilkan notasi F; 8/5 panjang tali C menghasilkan notasi E; 16/9 panjang tali C menghasilkan notasi D dan 2/1 panjang tali C menghasilkan notasi C rendah.
Penelitian tentang suara mencapai puncaknya pada abad 19 setelah John Fourier mampu membuktikan bahwa semua suara – instrumental maupun vokal – dapat dijabarkan dengan matematika, yaitu jumlah fungsi-fungsi Sinus sederhana. Menurutnya, suara mempunyai 3 kategori – pitch, loudness dan quality. Penemuan Fourier ini memungkinkan ketiga kategori tersebut digambar dan dibedakan. Pitch terkait dengan frekuensi kurva, loudness terkait dengan amplitudu dan quality terkait dengan bentuk dari fungsi periodik. Lewat motto “Angka adalah dewa”, Pythagoras mampu menggalang sejumlah pengikut.

Para pengikut Pythagoras (Pythagorean)
Pythagoras barangkali dapat disebut sebagai pemikir new ages pada jamannya. Dia juga seorang orator ulung, intelektual terkenal sekaligus guru yang kharismatik. Semua itu membuat banyak orang ingin belajar darinya. Tidaklah mengherankan apabila tidak lama kemudian dia mempunyai banyak pengikut dan disusul dengan mendirikan sekolah.
Falsafah dasar yang paling penting bagi Pythagoras adalah: angka. Yunani mewarisi pemahaman tentang angka dari geometrik Mesir. Hasilnya, ahli matematika Yunani tidak dapat membedakan antara bentuk (shapes) dengan bilangan (numbers). Pada saat ini untuk membuktikan theorema matematika biasa digunakan gambar-gambar yang digambar dengan menggunakan sejenis penggaris yang terbuat dari logam atau batu dan kompas.
Nisbah-nisbah adalah kunci untuk memahami alam, Pythagorean dan matematikawan lebih modern menghabiskan banyak energi dengan menggali lebih dalam teori-teori mereka. Akhirnya mereka memilah proporsi ke dalam sepuluh kategori berbeda yang disebut dengan titik tengah harmonis (harmonic means). Salah satu dari titik tengah ini mengandung angka paling “cantik” di dunia: nisbah emas (golden ratio). Tidak ada yang istimewa dari nisbah emas ini, tetapi sesuatu yang terinspirasi oleh nisbah emas tampaknya merupakan obyek-obyek yang sangat indah. Bahkan sampai saat ini, artis dan arsitek secara intuitif mengetahui bahwa obyek-obyek yang mengandung nisbah emas nampak artistik. Dan nisbah ini mempengaruhi banyak pekerjaan pada bidang seni dan arsitektur. Parthenon, kuil Athena terbesar, dibangun dengan kaidah nisbah emas ada pada setiap aspek kontruksinya. Dalam pikiran Pythagorean, nisbah mengendalikan alam semesta dan berarti sahih bagi seluruh dunia Barat pula.

Cacat pada doktrin Pythagorean
Angka nol tidak mendapat tempat dalam kerangka kerja Pythagorean. Angka nol tidak ada atau tidak dikenal dalam kamus Yunani. Menggunakan angka nol dalam suatu nisbah tampaknya melanggar hukum alam. Suatu nisbah menjadi tidak ada artinya karena “campur tangan” angka nol. Angka nol dibagi suatu angka atau bilangan dapat menghancurkan logika. Nol membuat “lubang” pada kaidah alam semesta versi Pythagorean, untuk alasan inilah kehadiran angka nol tidak dapat ditolerir. Pythagorean juga tidak dapat memecahkan “problem” dari konsep matematika – bilangan irrasional, yang sebenarnya juga merupakan produk sampingan (by product) rumus: a² + b² = c². Konsep ini juga menyerang sudut pandang mereka, namun dengan semangat persaudaraan tetap dijaga sebagai sebuah rahasia. Rahasia ini harus tetap dijaga jangan sampai bocor atau kultus mereka hancur. Mereka tidak mengetahui bahwa bilangan irrasional adalah “bom waktu” bagi kerangka berpikir matematikawan Yunani.
Nisbah antara dua angka tidak lebih dari membandingkan dua garis dengan panjang berbeda. Anggapan dasar Pythagorean adalah segala sesuatu yang masuk akal dalam alam semesta berkaitan dengan kerapian (neatness), proporsi tanpa cacat atau rasional. Nisbah ditulis dalam bentuk a/b bilangan utuh, seperti: 1, 2 atau 17, dimana b tidak boleh sama dengan nol karena dengan itu akan menimbulkan bencana. Tidak perlu dijelaskan lagi, alam semesta tidak sesuai dengan kaidah tersebut. Banyak angka tidak dapat dinyatakan semudah itu ke dalam nisbah a/b. Kehadiran angka irrasional tidak dapat dihindari lagi adalah konsekuensi matematikawan Yunani.
Persegi panjang adalah bentuk paling sederhana dalam geometri, tetapi dibaliknya terkandung bilangan irrasional. Apabila anda membuat garis diagonal pada persegi panjang – muncul irrasional, dan kelak besarnya ditentukan oleh akar bilangan. Bilangan irrasional terjadi dan akan selalu terjadi pada semua bentuk geometri. Contoh lain, segi tiga siku-siku dengan panjang kedua sisi adalah satu, dapat dihitung panjang sisi lain – dengan rumus Pythagoras, yaitu: v2. Sangatlah sulit menyembunyikan hal ini bagi orang yang paham geometri dan nisbah.

Hippasus menyangkal
Rahasia ini akhirnya dibocorkan oleh seorang pengikut Pythagorean yang merasa bahwa dia harus mengungkapkan kebenaran. Hippasus adalah matematikawan yang menjadi murid sekaligus pengikut Pythagoras. Hippasus berasal dari Metapontan. Pengungkapan rahasia membuat dia dijatuhi hukuman mati. Cerita tentang bagaimana meninggalnya Hipassus ada berbagai versi. Beberapa mengatakan bahwa Hippasus ditenggelamkan di laut, sebagai konsekuensi menghancurkan teori indah dengan fakta-fakta menyesatkan. Sumber lain menyebutkan bahwa para pengikut Pythagoras mengubur dia hidup-hidup. Lainnya menyebutkan bahwa Hippasus, dibuang atau diasingkan dalam ruangan tertutup tanpa pernah bertemu orang lagi.
Tanpa usaha mengklarifikasikan mana yang benar, namun yang jelas pengungkapan oleh Hippasus ini mengoncangkan fondasi-fondasi doktrin Pythagoras. Dalam hal ini Pythagorean menanggap bahwa bilangan irrasional hanya sebagai suatu perkecualian. Mereka tidak dapat membuktikan bahwa bilangan irrasional mencemari pandangan mereka tentang alam semesta.

Meninggalnya Pythagoras
Para pengikut Pythagoras menyatakan bahwa guru mereka meninggal dengan cara yang unik. Beberapa dari mereka menyatakan Pythagoras mogok makan, sebagian lagi menyatakan bahwa dia mengurung dan berdiam diri. Cerita lain menyatakan bahwa konon rumahnya dibakar oleh para musuhnya (mereka yang merasa tersingkirkan oleh kehadiran Pythagoras di tempat itu). Semua pengikutnya ke luar dari rumah terbakar dan lagi ke segala penjuru untuk menyelamatkan diri. Massa yang membakar rumah itu kemudian membantai para pengikutnya (pythagorean) satu per satu. Persaudaraan sudah dihancurkan. Pythagoras sendiri berusaha melarikan diri tetapi tertangkap dan dipukuli. Dia disuruh berlari di suatu ladang, namun mengatakan bahwa dia lebih baik mati. Kemudian diambil keputusan bersama dan diputuskan: Pythagoras dihukum pancung di muka umum.
Meskipun persaudaraan sudah bubar dan pemimpinnya terbunuh, esensi ajaran Pythagoras terus bertahan sampai sekarang. Falsafah Barat banyak dipengaruhi oleh pemikiran Pythagoras – seperti halnya doktrin Aristoteles, ternyata mampu bertahan hampir 2 milenium. Angka nol dan bilangan irrasional bertentangan dengan doktrin tersebut, tetapi memberi landasan bagi para matematikawan berikutnya agar memperhatikan angka nol dan bilangan irrasional.


Euclid





“Tidak ada jalan mulus mempelajari geometri” (“There is no royal road to geometry”) - Euclid
[Pemberi dasar bahwa matematika adalah ilmu yang perlu pembuktian]

Tentang Euclid
Tidak lama Pythagoras meninggal, lahirlah Euclid. Pada era ini matematika lebih dikenal sebagai sains dan kurang mistik. Theorema-theorema baru ditambahkan: kurva-kurva, lingkaran-lingkaran dan bentuk-bentuk lain dipelajari sama halnya seperti garis lurus dan bidang–bidang datar. Ada sumber yang menyebutkan Euclid hidup antara tahun 330 - 275 SM. Lembaga yang menaungi pembelajaran saat itu adalah akademi Plato. Masa keemasan Yunani dan kebebasan berekspresi membuat pemikir-pemikir baru bermunculan. Didirikan pada 380 SM, lolos dari invasi-invasi yang datang silih berganti, hidup dalam suksesi banyak tiran dan menjadi saksi keruntuhan dua kebudayaan besar – Yunani dan Romawi – sebelum akhirnya ditutup pada abad keenam oleh kaisar Justinian.

Pribadi Euclid
Euclid dapat disebut sebagai matematikawan utama. Dia dikenal karena peninggalannya berupa karya matematika yang dituang dalam buku The Elements sangatlah monumental. Buah pikir yang dituangkan ke dalam buku tersebut membuat Euclid dianggap sebagai guru matematika sepanjang masa dan matematikawaan terbesar Yunani.
Pribadi Euclid digambarkan sebagai orang yang baik hati, jujur, sabar dan selalu siap membantu dan bekerjasama dengan orang lain. Banyak theorema-theorema yang dijabarkannya merupakan hasil karya pemikir-pemikir sebelumnya termasuk Thales, Hippokrates dan Pythagoras.

Banyak informasi salah tentang Euclid. Ada yang menyebutkan bahwa dia adalah anak Naucrates yang lahir di Tyre. Informasi lain mengemukakan bahwa di lahir di Megara. Memang ada nama yang sama, Euclid dan lahir di Megara, tetapi hal itu terjadi 100 tahun sebelum kelahiran Euclid dan profesi Euclid dari Megara adalah filsuf. Euclid sendiri lahir di Alexandria. Kesalahan nama ini jamak terjadi karena pada masa itu banyak orang bernama Euclid.


Nurul Wahyuni




Selengkapnya...

Sabtu, 13 Desember 2008

fundamental of teori bilangan


hal mutlak yang dibicarakan dalam teori bilangan adalah bilangan bulat. Dalam teori bilangan dasar, bilangan bulat dipelajari tanpa menggunakan teknik dari area matematika lainnya. dan dalam bilangan bulat ini yang sangat penting yaitu bilangan prima. bilangan prima ia sesuai dengan namanya ia merupakan sesuatu yang prima. bilangan prima merupakan hal yang sangat fundamental dalam pembelajaran teori bilangan. bilangan prima berperan dalam teorema dasar aritmatika.




bunyi teorema dasar aritmatika yaitu:
setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dapat dibuat dalam perkalian bilangan prima secara tunggal.

sebagai contoh :
15 = 3 x 5
20 = 2 x 2 x 5

tidak ada bentuk perkalian bilangan prima lain yang dapat dibentuk dari bilangan tersebut. oleh karena itu dikatakan tunggal.

Selengkapnya...

Senin, 01 Desember 2008

menfaat teori bilangan

teori bilangan sebenarnya merupakan dasar dari berbagai ilmu matematika lainnya. beberapa ilmu yang lahir dari perkembangan ilmu teori bilangan ini yaitu teori coding, dan teori ring serta cryptografi. cryptografi merupakan ilmu yang untuk mengamankan suatu pesan agar pesan yang kita buat tidak terbaca oleh pihak yang tidak berhak. Selengkapnya...

asal usul teori bilangan



algoritma pembagian menjadi dasar - dasar dalam ilmu teori bilangan. algoritma sebenarnya merupakan sekumpulan langkah langkah yang digunakan untuk mendapatkan suatu nilai. algoritma pembagian disini sebenarnya adalah teorema dalam setiap dua bilangan. penyebutan algoritma dikarenakan dikarenakan kebiasaan saja.

teorema algoritma pembagian yaitu:

dalam setiap bilangan bulat a dan b dengan b>0 maka pasti terdapat suatu bilangan bulat q dan r sehingga :


a=bq+r; dengan r besar dari atau sama dengan 0 dan kurang dari q
kenapa kutrang dari q????????? karena jika bisa lebih besar dari q nilai ini tidak tunggal. dan kita akan terus berputar putar dalam algoritma ini. sedangkan yang namanya algorima itu harus berhenti.
Selengkapnya...

Kamis, 27 November 2008

tentang teori bilangan


Secara tradisional, teori bilangan adalah cabang dari matematika murni yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat dan mengandung berbagai masalah terbuka yang dapat mudah mengerti sekalipun bukan oleh ahli matematika.
seorang ilmuan matematika, Gauss pernah mengatakan "math is the queen of science" dan sebelum kata kata ini sebenarnya sebelum kata kata ini ada kata sebelumnya yaitu "number theori is the queen of math" ini artinya bahwa teori bilangan adalah ratu nya dalam ilmu matematika. kenapa bisa seperti itu??? itulah yang akan kita telusuri........
teori bilangan adalah ilmu yang tertua dalam sejarah ilmu matematika( ini kata dosen saya sih). ini menjadi dasar dari perkembangan ilmu lainnya Selengkapnya...